高中数学《三角函数》典型例题

例1. 已知，求（1）；（2）的值。

解：（1）

；

   （2）

。

点评：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

例2. 求函数的值域。

解：设，则原函数可化为

，因为，所以

当时，，当时，，

所以，函数的值域为。

例3. 已知函数。

（1）求的最小正周期、的最大值及此时x的集合；

（2）证明：函数的图像关于直线对称。

解：（1）

所以的最小正周期，因为，

所以，当，即时，最大值为；

（2）证明：欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有成立，

因为，

，

所以成立，从而函数的图像关于直线对称。

例4. 已知函数y＝cos²x＋sinx·cosx＋1 （x∈R），

（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

（2）该函数的图像可由y＝sinx（x∈R）的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

解：（1）y＝cos²x＋sinx·cosx＋1＝（2cos²x－1）＋＋（2sinx·cosx）＋1

＝cos2x＋sin2x＋＝（cos2x·sin＋sin2x·cos）＋

＝sin（2x＋）＋

所以y取最大值时，只需2x＋＝＋2kπ，（k∈Z），即  x＝＋kπ，（k∈Z）。

所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x＝＋kπ，k∈Z}

（2）将函数y＝sinx依次进行如下变换：

（i）把函数y＝sinx的图像向左平移，得到函数y＝sin（x＋）的图像；

（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y＝sin（2x＋）的图像；

（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y＝sin（2x＋）的图像；

（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y＝sin（2x＋）＋的图像。

综上得到y＝cos²x＋sinxcosx＋1的图像。

点评：本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx，cosx的齐次式，降幂后最终化成y＝sin（ωx＋）＋k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题（1）还可以解法如下：当cosx＝0时，y＝1；当cosx≠0时，y＝＋1＝＋1

化简得：2（y－1）tan²x－tanx＋2y－3＝0

∵tanx∈R，∴△＝3－8（y－1）（2y－3）≥0，解之得：≤y≤

∴y_max＝，此时对应自变量x的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}

例5. 已知函数

（Ⅰ）将f（x）写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标；

（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b²＝ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域。

解：

（Ⅰ）由＝0即

即对称中心的横坐标为

（Ⅱ）由已知b²＝ac

即的值域为。

综上所述，，的值域为 。

点评：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。

例6. 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，

（1）求的值；

（2）若，且a＝c，求△ABC的面积。

解：（1）由正弦定理及，有，

即，所以，

又因为，，所以，

因为，所以，又，所以。

（2）在△ABC中，由余弦定理可得，又，

所以有，所以△ABC的面积为

。

例7. 已知向量 ，且，

（1）求函数的表达式；

（2）若，求的最大值与最小值。

解：（1），，，又，

所以，

所以，即；

（2）由（1）可得，令导数，解得，列表如下：

而所以。

例8. 已知向量，

（1）求的值；

（2）若的值。

解：（1）因为

所以

又因为，所以，

即；

（2），

又因为，所以 ，

，所以，所以

例9. 平面直角坐标系有点

（1）求向量和的夹角的余弦用表示的函数；

（2）求的最值。

解：（1），

即      

（2） ， 又    ，

 ，    ，  。

点评：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意。

例10. 求值

解：

例11. 已知＜β＜α＜，cos（α－β）＝，sin（α＋β）＝－，求sin2α的值________。

解：∵＜β＜α＜，∴0＜α－β＜。π＜α＋β＜，

∴sin（α－β）＝

∴sin2α＝sin［（α－β）＋（α＋β）］

＝sin（α－β）cos（α＋β）＋cos（α－β）sin（α＋β）

例12. 设关于x的函数y＝2cos²x－2acosx－（2a＋1）的最小值为f（a），试确定满足f（a）＝的a值，并对此时的a值求y的最大值。

解：由y＝2（cosx－）²－及cosx∈［－1，1］得：

f（a）＝

∵f（a）＝，∴1－4a＝a＝［2，＋∞

故－－2a－1＝，解得：a＝－1，此时，

y＝2（cosx＋）²＋，当cosx＝1时，即x＝2kπ，k∈Z，y_max＝5。